Question

如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，則以下結(jié)論：①BD∥平面CB₁D₁；②AC₁⊥BD；③AC₁⊥平面CB₁D₁其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）

A．0
B．1
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：①由正方體的性質(zhì)得BD∥B₁D₁，所以結(jié)合線面平行的判定定理可得答案；
②由正方體的性質(zhì)得 AC⊥BD，再由三垂線定理可得答案．
③由正方體的性質(zhì)得 BD∥B₁D₁，并且結(jié)合②可得AC₁⊥B₁D₁，同理可得AC₁⊥CB₁，進而結(jié)合線面垂直的判定定理得到答案．
解答：解：由正方體的性質(zhì)得，BD∥B₁D₁，所以結(jié)合線面平行的判定定理可得：BD∥平面CB₁D₁；所以①正確．
由正方體的性質(zhì)得 AC⊥BD，因為AC是AC₁在底面ABCD內(nèi)的射影，所以由三垂線定理可得：AC₁⊥BD，所以②正確．
由正方體的性質(zhì)得 BD∥B₁D₁，由②可得AC₁⊥BD，所以AC₁⊥B₁D₁，同理可得AC₁⊥CB₁，進而結(jié)合線面垂直的判定定理得到：AC₁⊥平面CB₁D₁ ，所以③正確．
故選D．
點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征與有關(guān)的判定定理，本題考查學生的空間想象能力與邏輯推理能力，屬于基礎題．