Question

4．如圖，等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE相交于G，已知△A′ED是△ADE繞DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形，下列命題中，錯(cuò)誤的是（　�。�

• A． 異面直線A′E與BD不可能垂直
• B． 恒有平面A′GF⊥平面BCDE
• C． 三棱錐A′-EFD的體積有最大值
• D． 動(dòng)點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線段AF上

Answer 1

分析 A．建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)BC=4，則E（0，1，0），B$（\sqrt{3}，-2，0）$，A$（-\sqrt{3}，0，0）$，A′（x，0，z）．由$\overrightarrow{{A}^{′}E}•\overrightarrow{AB}$=$-2\sqrt{3}x-2$=0，解得x，因此取A′$（-\frac{\sqrt{3}}{3}，0，\frac{\sqrt{26}}{3}）$，可得A′E⊥AB，即可判斷出正誤；
B．由于ED⊥FG，ED⊥GA′，可得ED⊥平面A′GF，即可判斷出正誤；
C．恒有平面A′DE⊥平面BCDE時(shí)，三棱錐A′-EFD的體積有最大值$\frac{1}{3}{S}_{△DEF}•{A}^{′}G$，即可判斷出正誤；
D．由A可知?jiǎng)狱c(diǎn)：A′在平面ABC上的射影在線段AF上，即可判斷出正誤．

解答 解：如圖所示，
A．建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)BC=4，則E（0，1，0），B$（\sqrt{3}，-2，0）$，A$（-\sqrt{3}，0，0）$，A′（x，0，z）．$\overrightarrow{{A}^{′}E}$=（-x，1，-z），$\overrightarrow{AB}$=$（2\sqrt{3}，-2，0）$，由$\overrightarrow{{A}^{′}E}•\overrightarrow{AB}$=$-2\sqrt{3}x-2$=0，解得x=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$，z=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{26}}{3}$．因此取A′$（-\frac{\sqrt{3}}{3}，0，\frac{\sqrt{26}}{3}）$，可得A′E⊥AB，因此A不正確．
B．∵ED⊥FG，ED⊥GA′，F(xiàn)G∩GA′，∴ED⊥平面A′GF，∴恒有平面A′GF⊥平面BCDE．
C．恒有平面A′DE⊥平面BCDE時(shí)，三棱錐A′-EFD的體積有最大值$\frac{1}{3}{S}_{△DEF}•{A}^{′}G$，正確；
D．由A可知?jiǎng)狱c(diǎn)：A′在平面ABC上的射影在線段AF上，正確．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、勾股定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．