Question

在正方體AC₁中,M、N分別為A₁B₁、A₁D₁的中點,E、F分別為B₁C₁、C₁D₁的中點.

(1)求證平面AMN∥平面EFDB;

(2)求平面AMN與平面EFDB間的距離.

Answer 1

解:(1)∵AC₁是正方體,M、F分別為棱A₁B₁、D₁C₁的中點,

∴AM∥DF.又DF平面EFDB,

∴AM∥平面EFDB.

同理,AN∥平面EFDB,

而AM∩AN=A,

∴平面AMN∥平面EFDB.

(2)取BB₁、CC₁的中點Q、P,

連結(jié)A₁Q、A₁P,

∵PQ∥BC,

∴PQ⊥面AB₁.

又∵M為A₁B₁的中點,

∴AM⊥A₁Q.由三垂線定理得A₁P⊥AM.

又PC₁⊥面A₁C₁,M、N分別為A₁B₁、A₁D₁的中點,

∴A₁C₁⊥MN.

由三垂線定理得A₁P⊥MN,而AM∩MN=M,

∴A₁P⊥面AMN.

由(1)知面AMN∥面EFDB,

∴A₁P⊥面EFDB.

設(shè)A₁P與這兩個平行平面交于O₁、O₂,如圖所示,則O₁O₂的長為兩平行平面間的距離,在平行四邊形AA₂A₃A₄中,O₁O₂=.