Question

（2012•武漢模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為平行四邊形，∠ADB=90°，AB=2AD．
（Ⅰ）證明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由∠ADB=90°，得BD⊥AD．因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥BD．由此能夠證明BD⊥PA．
（Ⅱ）以DA為x軸，DB為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，設(shè)AD=a，則

AB

=（-a，

3

a，0），

BC

=（-a，0，0），

AP

=（-a，0，a），

PC

=（-a，

3

a，-a）．從而得到平面PAB的法向量

n

=（3，

3

，3）．同理，求得平面PBC的一個(gè)法向量為

m

=（0，-1，-

3

）．由此能求出二面角A-PB-C的余弦值．

解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由∠ADB=90°，可得BD⊥AD．
因?yàn)镻D⊥底面ABCD，
所以PD⊥BD．
又PD∩AD=D，
所以BD⊥平面PAD，
因?yàn)镻A?平面PAD，
所以BD⊥PA．…（4分）
（Ⅱ）以DA為x軸，DB為y軸，DP為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，設(shè)AD=a，則
A（a，0，0），B（0，

3

a，0），C（-a，

3

a，0），P（0，0，a），

AB

=（-a，

3

a，0），

BC

=（-a，0，0），

AP

=（-a，0，a），

PC

=（-a，

3

a，-a）．
設(shè)平面PAB的法向量為

n

=（x，y，z），
得

-ax+ 3 ay=0 -ax+az=0

設(shè)y=

3

，則x=z=3，
得

n

=（3，

3

，3）．
同理，可求得平面PBC的一個(gè)法向量為

m

=（0，-1，-

3

）．
所以cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=-

2 7

7

．
由圖形知，二面角A-PB-C為鈍角，
因此二面角A-PB-C的余弦值是-

2 7

7

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量法的合理運(yùn)用．易錯(cuò)點(diǎn)是容易忽視二面角是鈍角的情況．