Question

已知數(shù)列{

1

an

}是公差為2的等差數(shù)列，且a₁=1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{a_na_n+1}的前n項和為T_n．證明：

1

3

≤T_n＜

1

2

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用等差數(shù)列的通項公式，求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用裂項求出和，求出T_n，由n∈N₊和T_n單調(diào)性可求出T_n的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由已知列{

1

an

}為公差為2的等差數(shù)列，
∴

1

an

=

1

a1

+(n-1)•2，又a₁=1，∴

1

an

=2n-1，
∴an=

1

2n-1

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知anan+1=

1

2n-1

•

1

2n+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=a₁a₂+a₂a₃+…a_na_n+1
=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

n

2n+1

，
∴Tn=

1

2

-

1

2(2n+1)

＜

1

2

，又∵Tn=

n

2n+1

=

1

2+ 1 n

，T_n隨n的增大而增大，
∴Tn≥T1=

1

3

，
∴

1

3

≤Tn＜

1

2

．

點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式和裂項求和，還考查了函數(shù)的單調(diào)性，裂項求和是最重要的數(shù)列求和方法這一．屬于中檔題．