Question

已知兩定點，，滿足條件的點P的軌跡是曲線E，直線y=kx-1與曲線E交于A、B兩點．如果，且曲線E上存在點C，使．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）求AB的直線方程；
（Ⅲ）求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）點P滿足條件，由雙曲線的定義可知，曲線E是以為焦點的雙曲線的左支，由此可得曲線E的方程；
（Ⅱ） 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線方程代入曲線方程，根據直線與雙曲線左支交于兩點A，B，利用韋達定理及，即可求得直線AB的方程；
（Ⅲ）設C（x_c，y_c），由已知，得，從而可得點C的坐標代入曲線E的方程，即可求得m的值．
解答：解：（Ⅰ）由雙曲線的定義可知，曲線E是以為焦點的雙曲線的左支，且，∴b=1
故曲線E的方程為x²-y²=1（x＜0）…．（4分）
（Ⅱ） 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意建立方程組消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0
又已知直線與雙曲線左支交于兩點A，B，由解得…．（6分）
又∵===
依題意得 整理后得 28k⁴-55k²+25=0
∴或
但，∴
故直線AB的方程為…．（9分）
（Ⅲ）設C（x_c，y_c），由已知，得（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（mx_c，my_c）
∴，（m≠0）
又，
∴點，
將點C的坐標代入曲線E的方程，得得m=±4，
但當m=-4時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意
∴m=4，…（13分）
點評：本題考查雙曲線的定義，考查直線與曲線的位置關系，考查韋達定理的運用，解題的關鍵是正確運用雙曲線的定義，利用韋達定理解決弦長問題．