Question

已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A＞0,ω＞0)的圖像在y軸右側(cè)的第一個最高點(函數(shù)取最大值的點)為M(2,2),與x軸在原點右側(cè)的第一個交點為N(6,0),求這個函數(shù)的解析式.

Answer 1

活動:本例是一道經(jīng)典例題,主要考查三角函數(shù)模型的應(yīng)用,及訓(xùn)練學(xué)生分析思維能力,對數(shù)形結(jié)合的思維要求也較高.教師可引導(dǎo)學(xué)生展開思考討論,怎樣根據(jù)題目中給出的條件找到思維的切入點.題目中雖然沒有直接給出圖像,實質(zhì)是已知圖像求解析式問題.指導(dǎo)學(xué)生畫出草圖,利用數(shù)形結(jié)合來深化題意的理解,事實上,學(xué)生很容易看出A的值.如果學(xué)生沒找出周期,教師可進一步點撥:題目中告訴的x軸的橫坐標2與6表示圖像的哪段.根據(jù)題意,知道點M、N恰是函數(shù)y=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A＞0,ω＞0)在對應(yīng)于包含0的周期的那段圖像的五個關(guān)鍵點中的兩個.由此可知A、T.但要注意指導(dǎo)φ的求法.

解:方法一:

根據(jù)題意,可知=6-2=4,所以T=16.于是ω==.

將點M的坐標(2,2)代入y=2sin(x+φ),

得2=2sin(×2+φ),即sin(+φ)=1.

所以滿足+φ=的φ為最小正數(shù)解為φ=.

從而所求的函數(shù)解析式是y=2sin(x+),x∈R.

方法二:將兩個點M(2,2),N(6,0)的坐標分別代入y=2sin(ωx+φ)并化簡,

得

所以,在長度為一個周期且包含原點的閉區(qū)間上,有.

從而所求的函數(shù)解析式是y=2sin(x+),x∈R.

點評:由三角函數(shù)圖像求解析式確定φ時,答案可能止一個,這里可提醒學(xué)生注意,習慣上一般取離x軸最近的一個,這樣的解析式簡潔.本例對學(xué)生有著很高的訓(xùn)練價值,特別是數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中重要的思想方法,對各類函數(shù)的研究都離不開圖像,在中學(xué)階段,幾乎所有函數(shù)的性質(zhì)都是通過觀察圖像而得到的.