Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AB=

2

．
（1）求二面角A-PC-B的余弦值；
（2）設(shè)E為棱PC上的點(diǎn)，滿(mǎn)足直線(xiàn)DE與平面PBC所成角的正弦值為

2 2

3

，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面所成的角,二面角的平面角及求法

專(zhuān)題：空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）首先建立空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)向量利用平面的法向量，求出向量的夾角的余弦值．
（2）同樣利用法向量知識(shí)，利用夾角的正弦值作為建立等量的條件，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，最后求出向量的模長(zhǎng)．

解答：
解：（1）分別以AD，AC，AP所在直線(xiàn)為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系
平面PAC的法向量

m

=(1，0，0)
由已知得：P（0，0，2），C（0，2，0），B（-1，1，0）
∴

PC

=(0，2，-2)，

BC

=(1，1，0)
設(shè)平面PBC的法向量為

n

=(x，y，z)
則

n • PC =0 n • BC =0

，即

y-z=0 x+y=0

取

n

=(1，-1，-1)
cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

3

3

∴二面角A-PC-B的余弦值為

3

3

（2）設(shè)E（0，1+t，1-t），則

DE

=(-2，1+t，1-t)
由（Ⅰ）知平面PBC的法向量

n

=(1，-1，-1)，
由于直線(xiàn)DE與平面PBC所成角的正弦值為

2 2

3

所以|cos＜

DE

，

n

＞|=

| DE • n |

| DE |•| n |

=

4

6+2t2 • 3

=

2 2

3

得t=0，

AE

=(0，1，1)，
|

AE

|=

02+12+12

=

2

，
即：AE的長(zhǎng)等于

2

故答案為：（1）二面角A-PC-B的余弦值為

3

3

（2）AE的長(zhǎng)等于

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)：空間直角坐標(biāo)系，平面的法向量，線(xiàn)面所成的角，夾角的余弦，向量的模長(zhǎng)．