Question

如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，SA=AB=2，SB=SD=，底面ABCD是菱形，且∠ABC=
60°，E為CD的中點．
（I）證明：CD⊥平面SAE；
（II）求側(cè)面SBC和底面ABCD所成二面角的正切值．

Answer 1

解：（I）如圖，連接AC
∵在菱形ABCD中，∠ADC=60°，E是線段CD的中點
∴CD⊥AE
又∵SA=AB=2，SB=2 
∴SA²+AB²=8=SB²，可得SA⊥AB．
同理得到SA⊥AD
∵AB、AD是平面ABCD內(nèi)的相交直線
∴SA⊥平面ABCD
又∵CD平面ABCD，
∴SA⊥CD
∵CD⊥AE，AE、SA是平面SAE內(nèi)的相交直線
∴CD⊥平面SAE
（II）取BC的中點F，連接AF、SF
由（I）的證明過程，
類似地可得AF⊥BC且SF⊥BC
∴∠SFA為二面角S﹣BC﹣A的平面角
∵Rt△ASF中，AF= ，SA=2
∴tan∠SFA= = 
即側(cè)面SBC和底面ABCD所成二面角的正切值為 ．