Question

已知兩點(diǎn)P（-2，2）、Q（0，2）以及一條直線(xiàn)l:y=x，設(shè)長(zhǎng)為的線(xiàn)段AB在直線(xiàn)l上移動(dòng)，求直線(xiàn)PA和QB的交點(diǎn)M的軌跡方程.?

 

Answer 1

解析:∵線(xiàn)段AB在直線(xiàn)l:y=x上，且線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為,?

∴設(shè)M（x，y）、A(t，t)、B(t+1，t+1)(t為參數(shù))，則直線(xiàn)PA的方程為

(t≠-2),①

直線(xiàn)QB的方程為(t≠-1).②

∵M(jìn)(x，y)是直線(xiàn)PA、QB的交點(diǎn),

∴x、y是由①②組成的方程組的解,由①②消去參數(shù)t，得x²-y²+2x-2y+8=0.③

當(dāng)t=-2時(shí)，PA的方程為x=-2，QB的方程為3x-y+2=0，此時(shí)的交點(diǎn)為M（-2，-4）.

當(dāng)t=-1時(shí)，QB的方程為x=0，PA的方程為3x+y+4=0，此時(shí)的交點(diǎn)為M(0，-4).

經(jīng)驗(yàn)證，點(diǎn)(-2，-4)和(0，-4)均滿(mǎn)足方程③.

故點(diǎn)M的軌跡方程為x²-y²+2x-2y+8=0.

溫馨提示:由于長(zhǎng)為的線(xiàn)段AB在直線(xiàn)l上移動(dòng)，故只需借助參數(shù)表示出A、B的坐標(biāo)，從而得直線(xiàn)PA、QB的方程，而M是這兩直線(xiàn)的交點(diǎn)，消去參數(shù)即得交點(diǎn)的軌跡方程.