Question

設(shè)函數(shù)f（x）=p（x-）-2lnx，（p是實(shí)數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），
（Ⅰ）若f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍；
（Ⅱ）若在[1，e]上至少存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求p的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）在其定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=，
要使f（x）為單調(diào)增函數(shù)，須f′（x）≥0恒成立，
即px²-2x+p≥0恒成立，即恒成立，
又，
所以當(dāng)p≥1時(shí)，f（x）在（0，+∞）為單調(diào)增函數(shù)；
要使f（x）為單調(diào)減函數(shù)，須f′（x）≤0恒成立，
即px²-2x+p≤0恒成立，即恒成立，
又，
所以當(dāng)p≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）為單調(diào)減函數(shù)；
綜上所述，f（x）在（0，+∞）為單調(diào)函數(shù)，p的取值范圍為p≥1或p≤0。
（Ⅱ）因在[1，e]上為減函數(shù)，所以g（x）∈[2，2e]，
①當(dāng)p≤0時(shí)，由（Ⅰ）知f（x）在[1，e]上遞減f（x）_max=f（1）=0＜2，不合題意；
②當(dāng)p≥1時(shí)，由（Ⅰ）知f（x）在[1，e]上遞增，f（1）＜2，
又g（x）在[1，e]上為減函數(shù)，
故只需f（x）_max＞g（x）_min，x∈[1，e]，
即；
③當(dāng)0＜p＜1時(shí)，因，x∈[1，e]，
所以不合題意；
綜上，p的取值范圍為。