Question

7．已知關(guān)于x的方程$\sqrt{{x^2}-1}$=ax-2有且只有一個(gè)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-$\sqrt{5}$，-1）∪（1，$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分析可得若方程$\sqrt{{x^2}-1}$=ax-2有且只有一個(gè)解，則函數(shù)y=$\sqrt{{x^2}-1}$與直線y=ax-2只有一個(gè)交點(diǎn)，分析可得函數(shù)y=$\sqrt{{x^2}-1}$為雙曲線x²-y²=1的x軸上方部分，由直線與雙曲線的位置關(guān)系分析可得a的取值范圍，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，若方程$\sqrt{{x^2}-1}$=ax-2有且只有一個(gè)解，
則函數(shù)y=$\sqrt{{x^2}-1}$與直線y=ax-2只有一個(gè)交點(diǎn)，
而函數(shù)y=$\sqrt{{x^2}-1}$，其解析式變形可得y²=x²-1（y≥0），
即雙曲線x²-y²=1的x軸上方部分；
雙曲線x²-y²=1的漸近線方程為y=±x，
直線y=ax-2過(guò)點(diǎn)（0，-2），
分析可得：當(dāng)a=±$\sqrt{5}$時(shí)，直線與雙曲線相切，
若直線y=ax-2與雙曲線x²-y²=1（y≥0）只有一個(gè)交點(diǎn)，
則有-$\sqrt{5}$≤a＜-1或1＜a≤$\sqrt{5}$，
即a的取值范圍是[-$\sqrt{5}$，-1）∪（1，$\sqrt{5}$]；
故答案為：[-$\sqrt{5}$，-1）∪（1，$\sqrt{5}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查方程根的判斷，涉及直線與雙曲線的位置關(guān)系，關(guān)鍵是將方程有解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為雙曲線與直線的位置關(guān)系問(wèn)題．