Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=1，BD=，∠ABD=90°，將它們沿對(duì)角線(xiàn)BD折起，折后的C變?yōu)镃₁，且A、C₁間的距離為2．
（1）求證：平面A C₁D⊥平面ABD；
（2）求二面角B-AC₁-D的余弦值；
（3）E為線(xiàn)段A C₁上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線(xiàn)段EC₁的長(zhǎng)為多少時(shí)？DE與平面BC₁D所成的角為30°．

Answer 1

【答案】分析：（1）由ABCD是平行四邊形，知∠BDC₁=∠ABD=90°，故AB⊥BD，C₁D⊥BD，由此能夠證明平面A C₁D⊥平面ABD．
（2）由AB⊥BD，AB⊥C₁D，知AB⊥平面BC₁D，以B為原點(diǎn)，以平行于DC₁的直線(xiàn)為x軸，以BD為y軸，以BA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能夠求出二面角B-AC₁-D的余弦值．
（3）設(shè)，則==（1，0，0）+λ（-1，-，1）=（1-λ，-，λ），利用向量法能夠推導(dǎo)出當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，DE與平面BC₁D所成的角為30°．
解答：解：（1）∵ABCD是平行四邊形，
∴∠BDC₁=∠ABD=90°，
∴AB⊥BD，C₁D⊥BD，
∴AD=BC₁=，
由C₁D=1，AC₁=2，得，
∴C₁D⊥AD，
∴C₁D⊥平面ABD，
∵C₁D?平面AC₁D，
∴平面A C₁D⊥平面ABD．
（2）∵AB⊥BD，AB⊥C₁D，
∴AB⊥平面BC₁D，
∴以B為原點(diǎn)，以平行于DC₁的直線(xiàn)為x軸，
以BD為y軸，以BA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（0，0，1），D（0，，0），，
∴，，
，，
設(shè)平面ABC₁的法向量為，
則，，
∴，解得=（-，1，0）．
設(shè)平面ADC₁的法向量，
則，，
∴，解得，
設(shè)二面角B-AC₁-D的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜＞|=||=．
（3）設(shè)，
則
=
=（1，0，0）+λ（-1，-，1）
=（1-λ，-，λ），
∵平面ABC⊥平面BCD，∴是平面BCD的一個(gè)法向量，
若DE與平面BC₁D所成的角為30°，
則，
∴，
∵=，
∴=，
整理，得1-2λ=0，解得．
故當(dāng)E為AB的中點(diǎn)，即|C₁E|=1時(shí)，DE與平面BC₁D所成的角為30°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的位置的判斷．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和向量法的合理運(yùn)用．