Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx-1（a，b為實(shí)數(shù)），x∈R，
（1）若不等式f（x）＞2的解集為{x|x＜-3或x＞1}，求f（x）在區(qū)間[-2，3）的值域；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意可得不等式f（x）＞2的解集為{x|x＜-3或x＞1}，
即不等式ax²+bx-3＞0的解集為{x|x＜-3或x＞1}，
∴-3和1是方程ax²+bx-3=0的兩根，∴
解得，∴f（x）=x²+2x-1=（x+1）²-2
∴x∈[-2，3）時(shí)，f（x）_min=f（-1）=-2，f（x）＜f（3）=14
∴求f（x）在區(qū)間[-2，3）的值域?yàn)椋篬-2，14）
（2）由（1）知，g（x）=x²+2x-1-kx=x²+（2-k）x-1
∴g（x）的圖象為開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸為x=
若函數(shù)g（x）[-1，1]上是單調(diào)函數(shù)，則
≤-1或，解得k≤0，或k≥4
故實(shí)數(shù)k的取值范圍為k≤0，或k≥4
分析：（1）由題意可得ax²+bx-3＞0的解集為{x|x＜-3或x＞1}，即-3和1是方程ax²+bx-3=0的兩根，可解ab的值，通過(guò)二次函數(shù)區(qū)間的最值可解；
（2）由（1）知，g（x）=x²+2x-1-kx=x²+（2-k）x-1，其圖象為開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸為x=，題意可化為≤-1或，解之即可．
點(diǎn)評(píng)：本題為不等式的解集與二次函數(shù)的結(jié)合，涉及函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．