Question

17．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1+1（n≥2）．
（1）若b_n=a_n-2，求證：{b_n}為等比數(shù)列；
（2）求{a_n}的通項公式；
（3）求{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}-2}{{a}_{n}-2}$=$\frac{\frac{1}{2}{a}_{n}+1-2}{{a}_{n}-2}$計算即得結(jié)論；
（2）通過b_n=-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，即得結(jié)論；
（3）通過a_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，計算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵a₁=1，a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1+1（n≥2），
∴a_n≠2，即b_n≠0，
∴$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}-2}{{a}_{n}-2}$=$\frac{\frac{1}{2}{a}_{n}+1-2}{{a}_{n}-2}$=$\frac{\frac{1}{2}（{a}_{n}-2）}{{a}_{n}-2}$=$\frac{1}{2}$，
又∵a₁=1，∴b₁=a₁-2=-1，
∴數(shù)列{b_n}是以-1為首項、$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列；
（2）解：∵b_n=-1•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=2+b_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$；
（3）解：∵a_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴S_n=2n-（$\frac{1}{{2}^{0}}$+$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）
=2n-$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$
=2n-$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．