Question

12．自平面上一點O引兩條射線OA，OB，P在OA上運動，Q在OB上運動且保持|$\overrightarrow{PQ}$|為定值2$\sqrt{2}$（P，Q不與O重合）．已知∠AOB=120°，
（1）PQ的中點M的軌跡是橢圓的一部分（不需寫具體方程）；
（2）N是線段PQ上任-點，若|OM|=1，則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的取值范圍是[1-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，1+$\frac{\sqrt{5}}{2}$]．

Answer 1

分析 （1）以O(shè)B為x軸，過O垂直于OB的直線為y軸，求出P，Q，M的坐標(biāo)，利用余弦定理，可得結(jié)論；
（2）利用平行四邊形的對角線的平方和等于1，結(jié)合a²+b²+ab=8，求出a，b，可得P，Q，M的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式可得結(jié)論．

解答 解：（1）以O(shè)B為x軸，過O垂直于OB的直線為y軸，|OQ|=a，|OP|=b，則P（-$\frac{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$b），Q（a，0），
∴M（$\frac{2a-b}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$b），
設(shè)M（x，y），則x=$\frac{2a-b}{4}$，y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$b，
∴a=2x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$y，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$y
由余弦定理可得a²+b²+ab=8，
∴3x²+4$\sqrt{3}$xy+7y²=6，
∴PQ的中點M的軌跡是橢圓的一部分；
（2）∵|$\overrightarrow{PQ}$|為定值2$\sqrt{2}$，|OM|=1，
∴a²+b²=6，
∵a²+b²+ab=8，
∴ab=2，
∴a=$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$，b=$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$，
∴P（-$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{30}-\sqrt{6}}{4}$），Q（$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$，0），M（$\frac{\sqrt{10}+3\sqrt{2}}{8}$，$\frac{\sqrt{30}-\sqrt{6}}{8}$），
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{OP}$=1-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{OQ}$=1+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{OM}$=1
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的取值范圍是[1-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，1+$\frac{\sqrt{5}}{2}$]．
故答案為：橢圓；[1-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，1+$\frac{\sqrt{5}}{2}$]．

點評 本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度大．