Question

18．我們知道，以正三角形的三邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與原三角形的面積之比為1：4，類比該命題得，以正四面體的四個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的四面體與原四面體的體積之比為$\frac{1}{27}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，結(jié)合三角形中位線、三角形重心的性質(zhì)及相似三角形的面積比等于相似比的平方得答案．

解答 解：如圖，

設(shè)正四面體ABCD四個(gè)面的中心分別為E、F、G、H，
AH為四面體ABCD的面BCD上的高，交面EFG于H，
則$\frac{EF}{MN}=\frac{2}{3}$，又$\frac{MN}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{1}{3}$，則$\frac{{S}_{△EFG}}{{S}_{△BCD}}=\frac{1}{9}$，
同理可得$\frac{SH}{AH}=\frac{1}{3}$，
∴正四面體的四個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的四面體與原四面體的體積之比為$\frac{1}{27}$．
故答案為：$\frac{1}{27}$．

點(diǎn)評 本題考查了棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，屬中檔題．