Question

15．?dāng)?shù)列{a_n}滿足（-1）ⁿa_n-a_n-1=2n，n≥2，則{a_n}的前100項(xiàng)和為（　�。�

• A． -4750
• B． 4850
• C． -5000
• D． 4750

Answer 1

分析 討論當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，a_2k-a_2k-1=4k，①當(dāng)n=2k-1（k∈N^*，k＞1）時(shí)，-a_2k-1-a_2k-2=4k-2，②
①-②可得a_2k+2+a_2k=2；當(dāng)n=2k+1（k∈N^*，k＞1）時(shí)，-a_2k+1-a_2k=4k+2③，①+③可得-a_2k-1-a_2k+1=8k+2．即a_2k-1+a_2k+1=-8k-2．通過分組利用等差數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：數(shù)列{a_n}滿足（-1）ⁿa_n-a_n-1=2n，n≥2，
當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，a_2k-a_2k-1=4k，①
當(dāng)n=2k-1（k∈N^*，k＞1）時(shí)，-a_2k-1-a_2k-2=4k-2，②
①-②可得a_2k+2+a_2k=2；
當(dāng)n=2k+1（k∈N^*，k＞1）時(shí)，-a_2k+1-a_2k=4k+2，③
①+③可得-a_2k-1-a_2k+1=8k+2．即a_2k-1+a_2k+1=-8k-2．
則{a_n}的前100項(xiàng)和為（a₁+a₃）+（a₅+a₇）+…+（a₉₇+a₉₉）+（a₂+a₄）+（a₆+a₈）+…+（a₉₈+a₁₀₀）
=（-10-26-…-394）+（2+2+…+2）=-$\frac{1}{2}$×25×（10+394）+2×25=-5050+50=-5000．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、分組求和方法、等差數(shù)列的求和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．