Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=33，a_n+1-a_n=2n，則a_n=

n²-n+33

，

an

n

的最小值為

21

2

．

Answer 1

分析：先利用累加法求出a_n=33+n²-n，所以

an

n

=

33

n

+n-1，設(shè)f（n）=

33

n

+n-1，由此能導(dǎo)出n=5或6時(shí)f（n）有最小值．借此能得到

an

n

的最小值．

解答：解：∵a_n+1-a_n=2n，∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=2[1+2+…+（n-1）]+33=n²-n+33
且對(duì)n=1也適合，所以a_n=n²-n+33．
從而

an

n

=

33

n

+n-1
設(shè)f（n）=

33

n

+n-1，令f′（n）=

-33

n2

+1＞0，
則f（n）在(

33

，+∞)上是單調(diào)遞增，在(0，

33

)上是遞減的，
因?yàn)閚∈N₊，所以當(dāng)n=5或6時(shí)f（n）有最小值．
又因?yàn)?span id="ix0bqle" class="MathJye">

a5

5

=

53

5

，

a6

6

=

63

6

=

21

2

，
所以

an

n

的最小值為

a6

6

=

21

2

故答案為：n²-n+33  

21

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了累加法．還考查函數(shù)的思想，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性．