Question

設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，過原點(diǎn)的直線與函數(shù)f（x）的圖象相切于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，若對(duì)于?x₁∈（0，e]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．（e是自然對(duì)數(shù)的底，）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）確定函數(shù)f（x）的定義域，求出導(dǎo)函數(shù)，利用過原點(diǎn)的直線與函數(shù)f（x）的圖象相切于點(diǎn)P，可求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，f'（x）＜0，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；f'（x）＞0，可得出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）?x₁∈（0，e]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，等價(jià)于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值，由此可求b的取值范圍．
解答：解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），（2分）
（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P（x，y）（x＞0），當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx-x-1，則y=lnx-x-1，，
∴（3分）
解得，故點(diǎn)P 的坐標(biāo)為（e²，1-e²）（4分）
（Ⅱ）=
∵，∴（5分）
∴當(dāng)0＜x＜1，或時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)時(shí)，f'（x）＞0
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為；
單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），（7分）
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，
由（Ⅱ）可知函數(shù)f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，2）上為增函數(shù)，在（2，e]上為減函數(shù)，且，
∵，又，∴（e-1）²＜3，
∴f（e）＞f（1），故函數(shù)f（x）在（0，e]上的最小值為（9分）
若?x₁∈（0，e]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，等價(jià)于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值（*）                                         （10分）
又，x∈[0，1]
①當(dāng)b＜0時(shí)，g（x）在[0，1]上為增函數(shù)，與（*）矛盾
②當(dāng)0≤b≤1時(shí)，，由及0≤b≤1得，
③當(dāng)b＞1時(shí)，g（x）在[0，1]上為減函數(shù)，，
此時(shí)b＞1
綜上，b的取值范圍是（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是將?x₁∈（0，e]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，轉(zhuǎn)化為g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值