Question

在平面直角坐標系中，已知點A(

1

2

，0)，向量

e

=(0，1)，點B為直線x=-

1

2

上的動點，點C滿足2

OC

=

OA

+

OB

，點M滿足

BM

•

e

=0，

CM

•

AB

=0．
（1）試求動點M的軌跡E的方程；
（2）設(shè)點P是軌跡E上的動點，點R、N在y軸上，圓（x-1）²+y²=1內(nèi)切于△PRN，求△PRN的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)M（x，y），B（-

1

2

，m），可得C（0，

m

2

），進而得到向量

BM

、

CM

和

AB

的坐標，結(jié)合題中向量等式建立x、y與m的等式，再消去m即可得到動點M的軌跡E的方程；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），可得PR直線的方程為（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0．由直線PR、PN與題中的圓相切，運用距離公式算出(x0-2)b2+2y0b-x0=0、(x0-2)c2+2y0c-x0=0，可得b、c是方程(x0-2)x2+y₀x-x₀=0的兩個根，運用根與系數(shù)的關(guān)系算出|b-c|關(guān)于x₀的式子，再代入計算△PRN的面積可得面積S關(guān)于x₀的表達式，最后利用基本不等式即可求出△PRN的面積的最小值．

解答：解：（1）設(shè)M(x，y)，B(-

1

2

，m)，則
∵點C滿足2

OC

=

OA

+

OB

，∴點C是線段AB的中點，可得C（0，

m

2

）
由此可得：

BM

=(x+

1

2

，y-m)，

CM

=(x，y-

m

2

)，

AB

=(-1，m)
∵

e

=(0，1)，

BM

•

e

=0，

CM

•

AB

=0
∴可得

y-m=0 -x+m(y- m 2 )=0

，化簡整理得

y=m x= m2 2

，
消去參數(shù)m得y²=2x，所以動點M的軌跡E的方程為y²=2x；…（4分）
（2）設(shè)P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，
∴PR直線的方程為y=

y0-b

x0

x+b，整理得l_PR：（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0，
∵圓（x-1）²+y²=1內(nèi)切于△PRN，可得PR與圓相切，∴

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1，
注意到x₀＞2，化簡得：(x0-2)b2+2y0b-x0=0，
同理可得：(x0-2)c2+2y0c-x0=0，
因此，b、c是方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0的兩個不相等的實數(shù)根，…（8分）
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，化簡整理可得|b-c|=

4y02+4x0(x0-2)

|x0-2|

=

2x0

x0-2

，
由此可得△PRN的面積為S =

1

2

•

2x0

x0-2

•x0=(x0-2)+

4

x0-2

+4≥8，
∴當x₀-2=

4

x0-2

時，即當x₀=4時，△PRN的面積的最小值為8．…（12分）

點評：本題給出動點滿足的條件，求動點的軌跡方程并求了△PRN的面積的最小值．著重考查了拋物線的標準方程和簡單性質(zhì)、軌跡方程的求法和直線與圓錐曲線關(guān)系等知識，屬于中檔題．