Question

數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，S_n為其前n項和,對于任意n∈N^*,總有a_n,S_n,a_n²成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列{a_n}的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n,且b_n=,求證：

對任意實數(shù)x∈(1,e］(e是常數(shù),e=2.718 28…)和任意正整數(shù)n,總有T_n＜2；

(3)正數(shù)數(shù)列{c_n}中,a_n+1=(c_n)ⁿ⁺¹(n∈N^*),求數(shù)列{c_n}中的最大項.

Answer 1

(1)解：由已知：對于n∈N^*,

總有2S_n=a_n+a_n²  ①成立,

∴2S_n-1=a_n-1+a_n-1²(n≥2).  ②

①-②,得2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²,

∴a_n+a _n-1=(a_n+a _n-1)(a_n-a _n-1).

∵a_n,a _n-1均為正數(shù),

∴a_n-a _n-1=1(n≥2).

∴數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列.

又n=1時,2S₁=a₁+a₁²,解得a₁=1.

∴a_n=n(n∈N^*).

(2)證明：∵對任意實數(shù)x∈(1,e］和任意正整數(shù)n,總有b_n=≤,

∴T_n≤++…+＜1+++…+

=1+1-++…+=2＜2.

(3)解：由a_n+1=(c_n)ⁿ⁺¹知lnc_n=,

令f(x)=,則f′(x)==.

∵當(dāng)x≥2時,ln(x+1)＞1,則1-ln(x+1)＜0,即f′(x)＜0,

∴在［2,+∞)內(nèi)f(x)為單調(diào)遞減函數(shù).

∴n≥2時,{lnc_n}是遞減數(shù)列,即{c_n}是遞減數(shù)列.

c₁==,c₂==,得c₁＜c₂.

∴數(shù)列{c_n}中的最大項為c₂=.