Question

（2013•貴陽(yáng)二模）設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)M（1，1），離心率e=

6

3

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）求橢圓C的方程．
（Ⅱ）若直線l是圓O：x²+y²=1的任意一條切線，且直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求證：

OA

•

OB

為定值．

Answer 1

分析：（I）利用離心率的計(jì)算公式、a、b、c的關(guān)系及點(diǎn)滿足橢圓的方程可得

e= c a = 6 3 a2=b2+c2 1 a2 + 1 b2 =1

，解出即可；
（II）分切線的斜率存在與不存在討論，把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系及利用數(shù)量積即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得

e= c a = 6 3 a2=b2+c2 1 a2 + 1 b2 =1

，解得

a2=4 b2= 4 3

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

3y2

4

=1．
（Ⅱ）①當(dāng)圓O的切線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，
則圓心O到直線l的距離d=

|m|

1+k2

，
∴1+k²=m²．
將直線l的方程和橢圓C的方程聯(lián)立

y=kx+m x2 4 + 3y2 4 =1

，得到（1+3k²）x²+6kmx+3m²-4=0．
設(shè)直線l與橢圓C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
則x1+x2=-

6km

1+3k2

，x1x2=

3m2-4

1+3k2

．
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=(1+k2)•

3m2-4

1+3k2

+km(-

6km

1+3k2

)+m2
=

4m2-4-4k2

1+3k2

=0，
②當(dāng)圓的切線l的斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證得

OA

•

OB

=0．
綜合上述可得，

OA

•

OB

為定值0．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓的相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立及根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了分類討論的思想方法推理能力和計(jì)算能力．