Question

過拋物線y=ax²(a＞0)的頂點O作兩條互相垂直的弦OP和OQ，求證：直線PQ恒過一個定點.

Answer 1

證明：設P（x₁,y₁）,Q(x₂,y₂)，顯然x₁≠x₂，y₁=ax₁²,y₂=ax₂²,

所以直線PQ的斜率為k_PQ=.

由OP⊥OQ，得x₁x₂+y₁y₂=0,

即x₁x₂+a²x₁²x₂²=0.

因為a＞0,x₁≠0,x₂≠0,

所以a²x₁x₂=-1.

所以ax₁x₂=

所以直線PQ的方程為y-ax₁²=a(x₁+x₂)(x-x₁),

即y=a(x₁+x₂)x-ax₁x₂.

所以y=a(x₁+x₂)x+.

顯然點（0，）適合方程，

即直線PQ恒過定點M（0，）.