Question

6．已知冪函數(shù)f（x）=（m-1）x^a的圖象過點(diǎn)（9，3），數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正值，且a₁=$\frac{m}{2}$，a₂=m，且$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=f（$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$）（n＞1），則a₁₀=（　　）

• A． 2¹⁰
• B． 2⁴⁵
• C． 2⁸⁸
• D． 2⁵¹¹

Answer 1

分析 根據(jù)冪函數(shù)的對應(yīng)仄函數(shù)f（x）的解析式，然后利用取對數(shù)法和構(gòu)造法，構(gòu)造等比數(shù)列，然后利用累加法進(jìn)行求解，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到結(jié)論．

解答 解：∵冪函數(shù)f（x）=（m-1）x^a的圖象過點(diǎn)（9，3），
∴m-1=1，即m=2，此時f（x）=x^a，
由f（9）=9^a=3得3^2a=3，
則2a=1，即a=$\frac{1}{2}$，
則f（x）=${x}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$，
則a₁=$\frac{m}{2}$=$\frac{2}{2}$=1，a₂=m=2，
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=f（$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$）=$\sqrt{\frac{{a}_{{n}_{+1}}}{{a}_{n}}}$，
等式兩邊取對數(shù) lg$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=lg$\sqrt{\frac{{a}_{{n}_{+1}}}{{a}_{n}}}$=$\frac{1}{2}$lg$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，
則$\frac{lg\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}}{lg\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}}$=2，
則數(shù)列{lg$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$}是公比q=2的等比數(shù)列，
則lg$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2^n-1lg2，
則$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=${2}^{{2}^{n-1}}$，
則$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=${2}^{{2}^{1}}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=${2}^{{2}^{2}}$，…$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=${2}^{{2}^{n-1}}$，
等式兩邊同時相乘得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$═${2}^{{2}^{1}}$•${2}^{{2}^{2}}$•…${2}^{{2}^{n-1}}$=${2}^{2+{2}^{2}+…{2}^{n-1}}$=${2}^{{2}^{n-1}-1}$，
即a_n=${2}^{{2}^{n-1}-1}$，
a₁₀=${2}^{{2}^{9}-1}$=2⁵¹¹，
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查冪函數(shù)的性質(zhì)以及數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，利用取對數(shù)法和構(gòu)造法，累加法是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查學(xué)生的運(yùn)算能力．