Question

在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,點(diǎn)D、D₁分別為AC、A₁C₁的中點(diǎn).

(1)當(dāng)的值等于何值時(shí),BC₁∥平面AB₁D₁？

(2)若平面BC₁D∥平面AB₁D₁,求的值.

Answer 1

思路分析:若BC₁∥平面AB₁D₁,則平面AB₁D₁中存在直線與BC₁平行,連結(jié)A₁B交AB₁于O,

由棱柱的定義知O為A₁B的中點(diǎn),平面A₁BC₁與平面AB₁D₁的交線OD₁與直線BC₁平行,由三角形中位線定理知D₁為A₁C₁的中點(diǎn),此時(shí)=1.

若平面BC₁D∥平面AB₁D₁,易知=1.

解:(1)如圖2-2-14,取D₁為線段A₁C₁的中點(diǎn),

圖2-2-14

此時(shí)=1,連結(jié)A₁B交AB₁于O,連結(jié)OD₁.

由棱柱的定義,知四邊形A₁ABB₁為平行四邊形,

所以點(diǎn)O為A₁B的中點(diǎn).

在△A₁BC₁中,點(diǎn)O、D₁分別為A₁B、A₁C₁的中點(diǎn),

∴OD₁∥BC₁.

又∵OD₁平面AB₁D₁,BC₁平面AB₁D₁,

∴BC₁∥平面AB₁D₁.

∴=1時(shí),BC₁∥平面AB₁D₁.

(2)由已知BC₁D∥平面AB₁D₁,且平面A₁BC₁∩平面BDC₁=BC₁,

平面A₁BC₁∩平面AB₁D₁=D₁O,

因此BC₁∥D₁O.

同理AD₁∥DC₁,∴,=.

又∵=1,∴=1.