Question

14．在（1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①f（2x）=cf（x）（c為正常數(shù)）；②當(dāng)2≤x≤4時(shí)，f（x）=1-（x-3）²，若函數(shù)f（x）的圖象上所有極大值對應(yīng)的點(diǎn)均落在同一條直線上，則c等于1或2．

Answer 1

分析 由已知可得分段函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而求出三個(gè)函數(shù)的極值點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三點(diǎn)共線，則任取兩點(diǎn)確定的直線斜率相等，可以構(gòu)造關(guān)于c的方程，解方程可得答案．

解答 【解答】解：∵當(dāng)2≤x≤4時(shí)，f（x）=1-（x-3）²
當(dāng)1≤x＜2時(shí)，則2≤2x＜4，
則f（x）=$\frac{1}{c}$f（2x）=$\frac{1}{c}$[1-（2x-3）²]，此時(shí)當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，函數(shù)取極大值$\frac{1}{c}$；
當(dāng)2≤x≤4時(shí)，f（x）=1-（x-3）²，此時(shí)當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)取極大值1；
當(dāng)4＜x≤8時(shí)，2＜$\frac{1}{2}$x≤4，則f（x）=cf（$\frac{1}{2}$x）=c（1-（$\frac{1}{2}$x-3）²，此時(shí)當(dāng)x=6時(shí)，函數(shù)取極大值c；
∵函數(shù)的所有極大值點(diǎn)均落在同一條直線上，
即點(diǎn)（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{c}$），（3，1），（6，c）共線，
∴$\frac{1-\frac{1}{c}}{3-\frac{3}{2}}$=$\frac{c-1}{6-3}$，解得c=1或2．
故答案為：1或2．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是三點(diǎn)共線，函數(shù)的極值，其中根據(jù)已知求出分段函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而求出三個(gè)函數(shù)的極值點(diǎn)坐標(biāo)，是解答本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．