Question

已知拋物線y²=4x的焦點為F,過F作兩條互相垂直的弦AB、CD,設AB、CD的中點分別為M、N.

(1)求證:直線MN必過定點,并寫出此定點坐標；

(2)分別以AB和CD為直徑作圓,求兩圓相交弦中點H的軌跡方程.

Answer 1

(1)證明:設AB斜率為k，將AB方程與拋物線方程聯立，求得M(,)，將k換為-得N(2k²+1,-2k)，由兩點式得MN方程為(1-k²)y=k(x-3),則直線MN恒過定點T(3，0).

?

(2)解:由拋物線性質，以AB、CD為直徑的⊙M、⊙N的半徑分別為x_M+1,x_n+1，?

于是可得兩圓方程分別為(x-x_m)²+(y-y_m)²=(x_m+1)²和(x-x_n)²+(y-y_n)²=(x_n+1)²,?

兩式相減可得其相交弦所在直線方程為(x_m-x_n)x+(y_m-y_n)y=(y_m²-y_n²)-(x_m-x_n)=(-?4k²)-(-2k²)=0，?

則公共弦過原點O.所以∠OHT=90°.?

于是，點H的軌跡是以OT為直徑的圓(除去直徑的兩個端點)，?

其軌跡方程為(x-)²+y²=(y≠0).