Question

已知函數(shù)f（x）=ae^x+blnx（a，b為常實(shí)數(shù)）的定義域?yàn)镈，關(guān)于函數(shù)f（x）給出下列命題：
①對于任意的正數(shù)a，存在正數(shù)b，使得對于任意的x∈D，都有f（x）＞0．
②當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)，函數(shù)f（x）存在最小值；
③若ab＜0時(shí)，則f（x）一定存在極值點(diǎn)；
④若ab≠0時(shí)，方程f（x）=f′（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)有唯一解；
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，
對于①，可知原函數(shù)為增函數(shù)，由x→0時(shí)的函數(shù)值的情況可知①不正確；
對于②，把導(dǎo)函數(shù)變形，得到兩個輔助函數(shù)，利用兩函數(shù)圖象在交點(diǎn)兩側(cè)的圖象高低判斷出原函數(shù)在定義域內(nèi)先減后增，有最小值；
對于③，利用②的判斷方法加以判斷；
對于④，把方程f（x）=f′（x）等價(jià)變形，然后由函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法加以判斷．

解答： 解：由f（x）=ae^x+blnx，得
f′(x)=aex+

b

x

，原函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），
①若a，b∈（0，+∞），則f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞0且x→0時(shí)，e^x→1，lnx→-∞，
∴不能保證任意的x∈D，都有f（x）＞0；
②當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)，y=ae^x與y=-

b

x

的圖象在第一象限有交點(diǎn)（x₁，y₁），
且x∈（0，x₁）時(shí)-

b

x

＞aex，當(dāng)x∈（x₁，+∞）時(shí)-

b

x

＜aex，
∴f（x）在定義域內(nèi)先減后增，故存在最小值；
③ab＜0等價(jià)于a＞0，b＜0或a＜0，b＞0，
當(dāng)a＜0，b＞0時(shí)相當(dāng)于在②條件下提取一負(fù)號即可，正確；
④由f（x）=f′（x），得aex+

b

x

=aex+blnx⇒

1

x

=lnx，即

1

x

-lnx=0，
方程

1

x

-lnx=0的解即為g(x)=

1

x

-lnx的零點(diǎn)，
而g（1）＞0且g(2)=

1

2

-ln2=ln

e

-ln2＜0，
∴方程f（x）=f′（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)有唯一解正確．
∴正確命題的序號是②③④．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的符號間的關(guān)系，訓(xùn)練了函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法，是中檔題．