Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：a₁=λ，a_n+1=

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a_n+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ為實數(shù)，n為正整數(shù)．
（1）對任意實數(shù)λ，求證：a₁，a₂，a₃不成等比數(shù)列；
（2）試判斷數(shù)列{b_n}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）假設(shè)存在一個實數(shù)λ，使a₁，a₂，a₃是等比數(shù)列，由等比中項的概念列式得到矛盾的等式，說明假設(shè)錯誤，結(jié)論得到證明；
（2）由遞推式b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21）得到b_n+1，進一步得到bn+1=-

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bn，求出b₁=-（λ+18），
由此可知當λ≠-18時，數(shù)列{b_n}是以-（λ+18）為首項，-

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為公比的等比數(shù)列．

解答： （1）證明：假設(shè)存在一個實數(shù)λ，使a₁，a₂，a₃是等比數(shù)列，則有a22=a1a3，
即(

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λ-3)2=λ(

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λ-4)，整理得

4

9

λ2-4λ+9=

4

9

λ2-4λ，得到9=0，矛盾．
∴a₁，a₂，a₃不成等比數(shù)列；
（2）解：∵b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），
∴bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]=(-1)n+1(

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an-2n+14)
=

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(-1)n(an-3n+21)=-

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bn，
又b₁=-（λ+18），
∴當λ=-18時，b_n=b₁=0，（n為正整數(shù)），此時{b_n}不是等比數(shù)列；
當λ≠-18時，b₁≠0，由上式可知b_n≠0，
∴

bn+1

bn

=-

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（n為正整數(shù)），
故當λ≠-18時，數(shù)列{b_n}是以-（λ+18）為首項，-

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為公比的等比數(shù)列．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定及等比數(shù)列的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．