Question

如圖的倒三角形數陣滿足：（1）第1行的n個數分別是1，3，5，…，2n-1；（2）從第二行起，各行中的每一個數都等于它肩上的兩數之和；（3）數陣共有n行．問：當n=2012時，第32行的第17個數是

2³⁷

．

Answer 1

分析：設第k行的第一個數為a_k，則a₁=1，a₂=4=2a₁+2，a3=12=2a2+22，a4=32=2a3+23，…，歸納，得ak=2ak-1+2k-1（k≥2，且k∈N^*），故a_n=n•2^n-1（n∈N^*）．由數陣的排布規(guī)律可知，每行的數（倒數兩行另行考慮）都成等差數列，且公差依次為：2，2²，…，2^k，…，由此能求出第32行的第17個數．

解答：解：設第k行的第一個數為a_k，
則a₁=1，
a₂=4=2a₁+2，
a3=12=2a2+22，
a4=32=2a3+23，
…
由以上歸納，得ak=2ak-1+2k-1（k≥2，且k∈N^*），
∴

ak

2k

=

a k-1

2k-1

+

1

2

，即

ak

2k

-

ak-1

2k-1

=

1

2

，
∴數列{

an

2n

}是以

a1

2

=

1

2

為首項，以

1

2

為公差的等差數列，
∴

an

2n

=

1

2

+(n-1)×

1

2

=

n

2

，
∴a_n=n•2^n-1（n∈N^*）．
由數陣的排布規(guī)律可知，每行的數（倒數兩行另行考慮）都成等差數列，
且公差依次為：2，2²，…，2^k，…
第n行的首項為a_n=n•2^n-1（n∈N^*），公差為2ⁿ，
∴第32行的首項為a32=32•231=2³⁶，公差為2³²，
∴第32行的第17個數是2³⁶+16×2³²=2³⁷．
故答案為：2³⁷．

點評：本題考查數列的應用，解題時要認真審題，合理地總結規(guī)律，注意歸納法和構造法的合理運用．