Question

16．直線l是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右準(zhǔn)線，以原點(diǎn)O為圓心且過雙曲線焦點(diǎn)的圓被直線l分成弧長為2：1的兩段，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)圓被分成的兩段圓弧的弧長比為2：1，可以求出兩個(gè)交點(diǎn)與圓心構(gòu)成的圓心角為120°，根據(jù)對(duì)稱性，在第一象限的交點(diǎn)A原點(diǎn)O所構(gòu)成直線的傾斜角為60°，求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而求得離心率e．

解答 解：如圖，易求圓O的方程為：x²+y²=c²，∠AOB=120°，
∴A的坐標(biāo)$（\frac{a^2}{c}，\frac{{\sqrt{3}{a^2}}}{c}）$，
∴$\frac{a^4}{c^2}+\frac{{3{a^4}}}{c^2}={c^2}⇒e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的熟練程度．