Question

3．若不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-2≤0}\\{x+2y-2≥0}\\{x-y+2m≥0}\end{array}}\right.$，表示的平面區(qū)域為三角形，且其面積等于$\frac{4}{3}$，則m的值為（　　）

• A． -3
• B． 1
• C． $\frac{4}{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，求出三角形各頂點的坐標，利用三角形的面積公式進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：
若表示的平面區(qū)域為三角形，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2=0}\\{x+2y-2=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，即A（2，0），
則A（2，0）在直線x-y+2m=0的下方，
即2+2m＞0，
則m＞-1，
則A（2，0），D（-2m，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2m=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1-m}\\{y=1+m}\end{array}\right.$，即B（1-m，1+m），
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2m=0}\\{x+2y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2-4m}{3}}\\{y=\frac{2+2m}{3}}\end{array}\right.$，即C（$\frac{2-4m}{3}$，$\frac{2+2m}{3}$）．
則三角形ABC的面積S_△ABC=S_△ADB-S_△ADC
=$\frac{1}{2}$|AD||y_B-y_C|
=$\frac{1}{2}$（2+2m）（1+m-$\frac{2+2m}{3}$）
=（1+m）（1+m-$\frac{2+2m}{3}$）=$\frac{4}{3}$，
即（1+m）×$\frac{1+m}{3}$=$\frac{4}{3}$，
即（1+m）²=4
解得m=1或m=-3（舍），
故選：B

點評 本題主要考查線性規(guī)劃以及三角形面積的計算，求出交點坐標，結合三角形的面積公式是解決本題的關鍵．