Question

17．（1+x）ⁿ展開式中有連續(xù)四項(xiàng)的前三項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，后兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相同，則這個(gè)展開式共有（　�。�

• A． 5項(xiàng)
• B． 6項(xiàng)
• C． 7項(xiàng)
• D． 8項(xiàng)

Answer 1

分析 由條件利用等差數(shù)列的定義性質(zhì)，組合數(shù)的計(jì)算公式，求得r的值，可得n的值，從而根據(jù)二項(xiàng)式定理得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)（1+x）ⁿ展開式中有連續(xù)四項(xiàng)分別為第r+1、r+2、r+3、r+4項(xiàng)，
根據(jù)這四項(xiàng)的前三項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，后兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相同，
可得${C}_{n}^{r}$+${C}_{n}^{r+2}$=2${C}_{n}^{r+1}$ ①，且${C}_{n}^{r+2}$=${C}_{n}^{r+3}$ ②．
由②可得 n=2r+5，代入①可得${C}_{2r+5}^{r}$+${C}_{2r+5}^{r+2}$=2${C}_{2r+5}^{r+1}$，
即$\frac{（2r+5）!}{r!•（r+5）!}$+$\frac{（2r+5）!}{（r+2）!•（r+3）!}$=2$\frac{（2r+5）!}{（r+1）!•（r+4）!}$，
求得r=1，∴n=7，故這個(gè)展開式共有8項(xiàng)，
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，等差數(shù)列的定義性質(zhì)，組合數(shù)的計(jì)算公式，屬于中檔題．