Question

18．在如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy中，AC⊥OB，OA⊥AB，|OB|=3，點(diǎn)C是OB上靠近O點(diǎn)的三等分點(diǎn)，若$y=\frac{k}{x}（x＞0）$函數(shù)的圖象（圖中未畫出）與△OAB的邊界至少有2個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是$0≤k＜\frac{{9\sqrt{2}}}{8}$．

Answer 1

分析 分類討論，若函數(shù)與△OAB的邊界AB交于兩點(diǎn)（不含A點(diǎn)），則臨界位置為相切，即可得出結(jié)論．

解答 解：當(dāng)k＜0時(shí)顯然不成立；當(dāng)k=0時(shí)，直線y=0與△OAB邊界有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)，成立．
當(dāng)k＞0時(shí)，由題設(shè)，$A（1，\sqrt{2}）$，B（3，0），C（1，0）．
若函數(shù)與△OAB的邊界分別交于OA，AB，則y=f（x）應(yīng)滿足$f（1）=k≤\sqrt{2}$．
若函數(shù)與△OAB的邊界AB交于兩點(diǎn)（不含A點(diǎn)），則臨界位置為相切．
由題設(shè)AB的直線方程為$\sqrt{2}x+2y-2\sqrt{2}=0$．
設(shè)切點(diǎn)為$（{x_0}，\frac{k}{x_0}）$，$f'（x）=-\frac{k}{x^2}$，則$f'（{x_0}）=-\frac{k}{x_0^2}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
即$k=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x_0^2$．將切點(diǎn)代入直線AB方程得${x_0}=\frac{3}{2}$，$k=\frac{{9\sqrt{2}}}{8}$．
綜上，$0≤k＜\frac{{9\sqrt{2}}}{8}$．
故答案為$0≤k＜\frac{{9\sqrt{2}}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的圖象，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．