Question

過橢圓C：外一點(diǎn)A（m，0）作一直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，又Q關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)為Q₁，連結(jié)PQ₁交x軸于點(diǎn)B，
（1）若，求證：；
（2）求證：點(diǎn)B為一定點(diǎn)(，0)。

Answer 1

證明：（1）連結(jié)AQ₁，因?yàn)镼與Q₁關(guān)于x軸對(duì)稱，而A在x軸上，
則在中，AB平分，
由內(nèi)角平分線定理可知：，
而，
∵同向，故λ＞0且，則，
又P、B、Q₁在同一直線且與同向，
于是有：。
（2）設(shè)過A（m，0）的直線l與橢圓C：交于，
Q₁與Q關(guān)于x軸對(duì)稱，則，
由及相減得，
∴，
PQ直線方程：，
而PQ過A（m，0），則有：，
而PQ₁過B，同理可求得：。
下面利用分析法證明：，
即證：， ……①
只需證：，
只需證：，
即證：， ……②
而在橢圓上，則， ……③
同理， ……④
由③×④可知②成立，從而①式得證，因此成立。
∴，∴點(diǎn)B為一定點(diǎn)（，0）。