Question

10．已知函數(shù)f（x）=log_a$\frac{1-mx}{x-1}$（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函數(shù)，
（1）求實數(shù)m的值；
（2）當a=3時，不等式f（x）＜3^x-t對∨x∈[2，3]恒成立，求t的取值范圍；
（3）當x∈（n，a-2）時，函數(shù)f（x）的值域是（1，+∞），求實數(shù)a與n的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（x）+f（-x）=0，從而可得$\frac{1-mx}{x-1}$•$\frac{1+mx}{-x-1}$=1，從而解得；
（2）當a=3時，不等式f（x）＜3^x-t可化為t＜3^x-log₃（$\frac{x+1}{x-1}$），從而可判斷y=3^x-log₃（$\frac{x+1}{x-1}$）在[2，3]上是增函數(shù)；從而化為最值問題；
（3）分類討論，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性及值域確定實數(shù)a與n的值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log_a$\frac{1-mx}{x-1}$（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函數(shù)，
∴f（x）+f（-x）=0，
即$\frac{1-mx}{x-1}$•$\frac{1+mx}{-x-1}$=1，
即1-m²x²=1-x²恒成立，
故m=-1或m=1（舍去）；
故m=-1．
（2）當a=3時，不等式f（x）＜3^x-t可化為t＜3^x-log₃（$\frac{x+1}{x-1}$），
易知y=$\frac{x+1}{x-1}$在[2，3]上是減函數(shù)，y=3^x在[2，3]上是增函數(shù)；
結(jié)合復合函數(shù)的單調(diào)性可知，
y=3^x-log₃（$\frac{x+1}{x-1}$）在[2，3]上是增函數(shù)；
故y_min=3²-log₃3=8，
故t＜8；
（3）①當n≥1時，則1≤n＜a-2，即a＞3，
則f（x）在（n，a-2）上為減函數(shù)，值域恰為（1，+∞），所以f（a-2）=1，
即log_a$\frac{a-1}{a-3}$=1，即$\frac{a-1}{a-3}$=a，
解得，a=2+$\sqrt{3}$，且n=1；
②當n＜1時，則（n，a-2）?（-∞，-1），所以0＜a＜1，
因為f（x）在（n，a-2）上為增函數(shù)，
所以f（n）=1，a-2=-1，
解得a=1與a＞0且a≠1矛盾（舍）．
綜上所述，a=2+$\sqrt{3}$，n=1．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)判斷與應用，同時考查了分類討論的思想應用及恒成立問題．