Question

3．已知定點A（-1，1），動點P在拋物線C：y²=-8x上，F為拋物線C的焦點．
（1）求|PA|+|PF|最小值；
（2）求以A為中點的弦所在的直線方程．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的定義知|PA|+|PF|=|PA|+|PE|，當A，P，E三點共線時最小，|PA|+|PF|取得最小值；
（2）利用點差法，求斜率，即可求以A為中點的弦所在的直線方程．

解答 解：（1）設拋物線C的準線為l，所以l的方程為x=2，
設P到準線的距離為d，垂足為E．由拋物線的定義知|PA|+|PF|=|PA|+|PE|，
當A，P，E三點共線時最小，|PA|+|PF|最小值為3．-----（4分）
（2）設以A為中點的弦所在的直線交拋物線C于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點，
所以x₁+x₂=-2，y₁+y₂=2，
又因為M，N在拋物線C上，
則有y₁²=-8x₁，y₂²=-8x₂，做差化簡得 k_MN=-4------（8分）
又直線MN過點A（-1，1），所以有y-1=-4（x+1），
即以A為中點的弦所在的直線方程為4x+y+3=0．------------（12分）

點評 本題考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，判斷當A，P，E三點共線時最小，|PA|+|PF|取得最小值，是解題的關鍵．