Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，是正方形，是中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.

（1）證明平面；

（2）若，求平面與平面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)詳解；(2).

【解析】

（1）根據(jù)平面，可得，再證，即可由線線垂直推證線面垂直；

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得兩個(gè)平面的法向量，再求出夾角的余弦，轉(zhuǎn)化為正弦值即可.

（1）因?yàn)?/span>平面，平面，故可得；

設(shè)底面正方形的邊長(zhǎng)為4，故可得，

，，

故在中，滿足，故可得；

又平面，且，

則平面，即證.

（2）因?yàn)?/span>平面,平面，故可得，

又底面為正方形，故可得，

故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示：

設(shè)，故可得

設(shè)平面的法向量為，

則，則

取，則.

不妨取平面的法向量.

則.

設(shè)平面與平面所成二面角的平面為，

則.

即平面與平面所成二面角的正弦值為.