Question

2．某數(shù)學教師對所任教的兩個班級各抽取20名學生進行測試，分數(shù)分布如表：

分數(shù)區(qū)間	甲班頻率	乙班頻率
[0，30）	0.1	0.2
[30，60）	0.2	0.2
[60，90）	0.3	0.3
[90，120）	0.2	0.2
[120，150）	0.2	0.1

（Ⅰ）若成績120分以上（含120分）為優(yōu)秀，求從乙班參加測試的90分以上（含90分）的同學中，隨機任取2名同學，恰有1人為優(yōu)秀的概率；
（Ⅱ）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表：在犯錯概率小于0.1的前提下，你是否有足夠的把握認為學生的數(shù)學成績是否優(yōu)秀與班級有關(guān)系？

	優(yōu)秀	不優(yōu)秀	總計
甲班
乙班
總計

k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828
P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001

${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，其中n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （I）計算乙班參加測試的90（分）以上的同學人數(shù)，以及120分以人數(shù)，利用列舉法求出對應事件數(shù)，求出對應的概率值；
（II）計算甲、乙兩班優(yōu)秀與不優(yōu)秀的人數(shù)，填寫列聯(lián)表，計算K²，對照數(shù)表得出概率結(jié)論．

解答 解：（I）乙班參加測試的90（分）以上的同學有20×（0.2+0.1）=6人，記為A、B、C、D、E、F；
其中成績優(yōu)秀120分以上有20×0.1=2人，記為A、B；
從這6名學生隨機抽取兩名的基本事件有：
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，
{B，F(xiàn)}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}共15個…（3分）
設事件G表示恰有一位學生成績優(yōu)秀，符合要求的事件有{A，C}，{A，D}，
{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}共8個；…（5分）
所以$P（G）=\frac{8}{15}$；…（6分）
（II）計算甲班優(yōu)秀的人數(shù)為20×0.2=4，不優(yōu)秀的人數(shù)為16，乙班優(yōu)秀人數(shù)為2，不優(yōu)秀的人數(shù)為18，
填寫列聯(lián)表，如下；

	優(yōu)秀	不優(yōu)秀	總計
甲班	4	16	20
乙班	2	18	20
總計	6	34	40

…（8分）
計算K²=$\frac{40{×（4×18-2×16）}^{2}}{6×34×20×20}$≈0.7843＜2.706；…（10分）
所以在犯錯概率小于0.1的前提下，沒有足夠的把握說明學生的數(shù)學成績是否優(yōu)秀與班級有關(guān)系．…（12分）

點評 本題考查了用列舉法求古典概型的概率問題，也考查了獨立性檢驗的應用問題，是基礎(chǔ)題目．