Question

已知拋物線y²=2px，（p＞0）的焦點(diǎn)為F，且焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為

3

2

，A，B，C為拋物線上相異三點(diǎn)．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若

FA

+

FB

+

FC

=

0

，求證：|

FA

|+|

FB

|+|

FC

|為定值；
（Ⅲ）若A，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線，直線BF交拋物線于另一點(diǎn)D，且AC⊥BD，求四邊形ABCD面積的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)拋物線y²=2px和焦點(diǎn)F(

p

2

，0)，準(zhǔn)線方程：x=-

p

2

，焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為

3

2

，即可求得p值；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），C（x_C，y_C），由（1）知F(

3

4

，0)，∵

FA

+

FB

+

FC

=

0

，求得x₁+x₂+x₃的值，進(jìn)而利用拋物線的定義推斷出|

FA

|+|

FB

|+|

FC

|=（x₁+1）+（x₂+1）+（x₃+1）把x₁+x₂+x₃的值代入即可求得答案．
（Ⅲ）由（1）知F(

3

4

，0)，拋物線方程為：y²=3x，顯然AC，BD都不垂直于坐標(biāo)軸，設(shè)直線AC的方程為：x=my+

3

4

，可得到AC的方程然后與拋物線聯(lián)立得到兩根之和、兩根之積，根據(jù)弦長公式表示出|AC|并化簡，然后根據(jù)直線AC的斜率可得到直線BD的斜率求出|BD|的弦長，再表示出S_{四邊形ABCD}運(yùn)用基本不等式可確定答案．

解答：解：（Ⅰ）焦點(diǎn)F(

p

2

，0)，準(zhǔn)線方程：x=-

p

2

，
∵焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為

3

2

，即

p

2

-(-

p

2

)=

3

2

，
∴p=

3

2

．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），C（x_C，y_C），由（1）知F(

3

4

，0)，
∵

FA

+

FB

+

FC

=

0

，即(xA-

3

4

，yA)+(xB-

3

4

，yB)+(xC-

3

4

，yC)=

0

，
∴xA-

3

4

+xB-

3

4

+xC-

3

4

=0，即xA+xB+xC=

9

4

，
由拋物線的定義：|

FA

|+|

FB

|+|

FC

|=(xA+

3

4

)+(xB+

3

4

)+(xC+

3

4

)=(xA+xB+xC)+

9

4

=

9

4

+

9

4

=

9

2

．
（Ⅲ）由（1）知F(

3

4

，0)，拋物線方程為：y²=3x，
顯然AC，BD都不垂直于坐標(biāo)軸，
設(shè)直線AC的方程為：x=my+

3

4

，
聯(lián)立

x=my+ 3 4 y2=3x

得：y2-3my-

9

4

=0，
由韋達(dá)定理得，yA+yC，=3m，yA•yC=-

9

4

，
∴|AC|=

1+m2

|yA-yC|=

1+m2

(yA+yC)2-4yAyC

=3(1+m2)，
將上式中m用-

1

m

代換，得|BD|=3(1+

1

m2

)，
于是，S=

1

2

|AC|•|BD|=

9

2

(1+m2)•(1+

1

m2

)≥

9

2

•2m•

2

m

=18，
當(dāng)且僅當(dāng)m=±1時，上式取等號，故四邊形ABCD面積的最小值為18．

點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)，平面向量的基礎(chǔ)知識．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．本題是拋物線和直線的綜合問題．直線和圓錐曲線的綜合題一般作為高考的壓軸題出現(xiàn)，要想解答正確，就必須對基礎(chǔ)知識熟練掌握．