Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+5（a＞1）．
（1）若f（x）的定義域和值域均是[1，a]，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若f（x）在區(qū)間（-∞，2]上是減函數(shù)，且對任意的x₁，x₂∈[1，1+a]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤9，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=（x-a）²+5-a²（a＞1），
∴y=f（x）在[1，a]上是減函數(shù)，…（2分）
又定義域和值域均為[1，a]，∴，…（4分）
即，解得 a=2． …（6分）
（2）∵f（x）在區(qū)間（-∞，2]上是減函數(shù)，∴a≥2，…（7分）
又對稱軸為x=a，a∈[1，a+1]，且（a+1）-a≤a-1
∴f（x）_max=f（1）=6-2a，f（x）_min=f（a）=5-a²． …（10分）
∵對任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤9，
∴f（x）_max-f（x）_min≤9，
即 （6-2a）-（5-a²）≤9，解得-2≤a≤4，…（13分）
又a≥2，∴2≤a≤4． …（14分）
分析：（1）先將函數(shù)進(jìn)行配方得到對稱軸，判定出函數(shù)f（x）在[1，a]上的單調(diào)性，然后根據(jù)定義域和值域均為[1，a]建立方程組，解之即可；
（2）將a與2進(jìn)行比較，將條件“對任意的x₁，x₂∈[1，1+a]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤9”轉(zhuǎn)化成“對任意的x₁，x₂∈[1，1+a]，總有f（x）_max-f（x）_min≤9恒成立”即可．
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，其中（1）的關(guān)鍵是判斷出函數(shù)f（x）在[1，a]上的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)已知構(gòu)造關(guān)于a的方程組，（2）的關(guān)鍵將“對任意的x₁，x₂∈[1，1+a]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤9”轉(zhuǎn)化成“對任意的x₁，x₂∈[1，1+a]，總有f（x）_max-f（x）_min≤9恒成立“