Question

7．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₂=2，S₁₁=66．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求證：b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

分析 （1）通過S₁₁=66可知a₆=6，結(jié)合a₂=2可知公差d=1，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過（1）裂項(xiàng)、并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 （1）解：∵S₁₁=11a₆=66，∴a₆=6，
設(shè)公差為d，則a₆-a₂=4d=4，即d=1，
∴a_n=a₂+（n-2）d=2+（n-2）×1=n；
（2）證明：由（1）得：${b_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴${b_1}+{b_2}+…+{b_n}=（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=1-\frac{1}{n+1}$，
∴b₁+b₂+…+b_n＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，考查裂項(xiàng)相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．