Question

設(shè)z是虛數(shù)，ω=z+是實(shí)數(shù)，且-1＜ω＜2.

（1）求|z|的值及z的實(shí)部的取值范圍；

（2）設(shè)u=，求證：u是純虛數(shù)；

（3）求ω-u²的最小值.

 

Answer 1

（1）解：∵ω∈R,∴z+=.

∴z+=+.∴z-+-=0.

∴(z-)(1-)=0.∴z=或z·=1.

∵z是虛數(shù),∴z·z=1，|z|=1.

設(shè)z=x+yi,則y≠0.

ω=z+=z+=z+=2x.

∴-1＜2x＜2.∴-＜x＜1.

（2）證明:u=

=

=.故是純虛數(shù).

（3）解:ω-u²=z+-()²=(x+yi)+(x-yi)-()²

=2x+［］²

=2x+=2x+

=2［(x+1)+］-3.

∵x∈(-,1),∴x+1＞0.

∴ω-u²≥2×2-3=1.

當(dāng)x+1=，即x=0時(shí)，上式取等號(hào).

∴ω-u²的最小值是1.