Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為棱AB和BC的中點，EF交BD于H．

(1)求二面角B₁－EF－B的正切值；

(2)試在棱B₁B上找一點M，使D₁M⊥平面EFB₁，并證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)連AC、B1H，則EF∥AC， 　　∵AC⊥BD，所以BD⊥EF． 　　∵B1B⊥平面ABCD，所以B1H⊥EF， 　　∴∠B1HB為二面角B1－EF－B的平面角　　2分 　　在 　　 　　故二面角B1－EF－B的正切值為　　4分 　　(2)在棱B1B上取中點M，連D1M、C1M． 　　∵EF⊥平面B1BDD1， 　　所以EF⊥D1M　　6分 　　在正方形BB1C1C中，因為M、F分別為BB1、BC的中點， 　　∴B1F⊥C1M　又因為D1C1⊥平面BCC1B1，所以B1F⊥D1C1， 　　所以B1F⊥D1M， 　　∴D1M⊥平面EFB1　　8分 　　(3)設D1M與平面EFB1交于點N，則D1N為點D1到平面EFB1的距離． 　　在Rt△MB1D1中，　　10分 　　 　　故點D1到平面EFB1的距離為　　12分 　　解二：(1)在正方體中，以DA、DC、DD1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系 　　則 　　　　2分 　　設平面EFB1的一個法向量為 　　 　　故二面角B1－EF－B的正切值為　　6分 　　(2)設 　　 　　　　12分