Question

若函數(shù)f(x)=

log2x，x＞0 log 1 2 (-x)，x＜0

，若a?f（a+1）＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、（-1，0）∪（0，+∞）
• B、（-∞，-1）∪（1，+∞）
• C、（-∞，-2）∪（-1，0）∪（0，+∞）
• D、（-2，-1）∪（0，+∞）

Answer 1

分析：根據(jù)分段函數(shù)的解析式，按照a+1＞0和a+1＜0進(jìn)行分類討論，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分別列出不等式進(jìn)行求解，最后將兩種情況的答案取并集即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=

log2x，x＞0 log 1 2 (-x)，x＜0

，
①當(dāng)a+1＞0，即a＞-1時(shí)，f（a+1）=log₂（a+1），
∴a•f（a+1）＞0，即alog₂（a+1）＞0，
∴

-1＜a＜0 log2(a+1)＜0

或

a＞0 log2(a+1)＞0

，
即

-1＜a＜0 a+1＜1

或

a＞0 a+1＞1

，
解得-1＜a＜0或a＞0，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-1，0）∪（0，+∞）；
②當(dāng)∴a+1＜0，即a＜-1時(shí)，f（a+1）=log

1

2

(-a-1)，
∴a•f（a+1）＞0，
即alog

1

2

(-a-1)＞0，
∴log

1

2

(-a-1)＜0，
即log

1

2

(-a-1)＜log

1

2

1，
∴-a-1＞1，解得a＜-2，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2）．
綜合①②可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2）∪（-1，0）∪（0，+∞）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，查了分段函數(shù)問(wèn)題．對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)不等式問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于化為同底的對(duì)數(shù)函數(shù)，應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解．對(duì)于分段函數(shù)問(wèn)題，一般選用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)行求解．屬于中檔題．