Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為Sn=3n，數(shù)列{b_n}滿足b1=-1，bn+1=bn+(2n-1)(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）若cn=

an•bn

n

，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）①當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1．當(dāng)n=1時，s₁=a₁=3．即可得出a_n．
②由數(shù)列{b_n}滿足b1=-1，bn+1=bn+(2n-1)(n∈N*)，利用“累加求和”即可得出．
（2）利用“錯位相減法”即可得出．

解答：解：（1）①∵Sn=3n，∴當(dāng)n≥2時，Sn-1=3n-1．
∴a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-3^n-1=2•3^n-1．
當(dāng)n=1時，s₁=a₁=3．
∴an=

3，n=1 2•3n-1，n≥2

．
②∵數(shù)列{b_n}滿足b1=-1，bn+1=bn+(2n-1)(n∈N*)，
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=（2n-3）+（2n-5）+…+1-1
=

(n-1)(2n-3+1)

2

-1
=n²-2n．
（2）當(dāng)n=1時，c₁=

3×(-1)

1

=-3；
當(dāng)n≥2時，cn=

2×3n-1×(n2-2n)

n

=2（n-2）×3^n-1．
∴cn=

-3，n=1 2(n-2)×3n-1，n≥2

當(dāng)n≥2時，Tn=-3+2×0×31+2×1×32+2×2×33+…+2×(n-2)×3n-1，
3T_n=-9+0+2×1×3³+…+2×（n-3）3^n-1+2×（n-2）•3ⁿ，
相減得-2Tn=6+2×32+2×33+…+2×3n-1-2(n-2)×3n=2×

3(3n-1-1)

3-1

-2(n-2)×3n=3ⁿ-3-2（n-2）×3ⁿ，
∴T_n=

3+(2n-5)×3n

2

．
當(dāng)n=1時，上式也成立．
∴Tn=

3+(2n-5)×3n

2

．

點評：本題考查了利用“當(dāng)n=1時，a₁=S₁；當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”得出a_n、“累加求和”、“錯位相減法”等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了計算能力，屬于難題．