Question

在實數(shù)集R內(nèi)，我們用“＜”為全體實數(shù)排了一個“序”，類似的，我們在向量集上也可以定義一個“序”的關(guān)系，記為“?”，定義如下：對于任意兩個向量

m1

=（x₁，y₁）•（x₁，y₁∈R），

m2

=（x₂，y₂）•（x₂，y₂∈R），當(dāng)取僅當(dāng)“x₁＜x₂“或“x₁=x₂且y₁＜y₂∈R”時，

m1

?

m2

，按上述定義的關(guān)系“?”，給出如下四個命題：
①若

m1

?

m2

，則|

m1

|≤|

m2

|；
②若

m1

?

m2

，

m2

?

m3

，則，則

m1

?

m3

；
③若

m1

?

m2

，則對于任意

m

，都有（

m1

+

m

）?（

m2

+

m

）成立；
④對于實數(shù)λ≥0，若

m1

?

m2

，則λ

m1

?λ

m2

成立；
其中所有命題的個數(shù)為（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：新定義,平面向量及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知條件中，對于任意兩個向量

m1

=（x₁，y₁）•（x₁，y₁∈R），

m2

=（x₂，y₂）•（x₂，y₂∈R），當(dāng)取僅當(dāng)“x₁＜x₂“或“x₁=x₂且y₁＜y₂∈R”時，

m1

?

m2

，按上述定義的關(guān)系“?”，判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論．

解答： 解：對于任意兩個向量

m1

=（x₁，y₁）•（x₁，y₁∈R），

m2

=（x₂，y₂）•（x₂，y₂∈R），當(dāng)取僅當(dāng)“x₁＜x₂“或“x₁=x₂且y₁＜y₂∈R”時，

m1

?

m2

，按上述定義的關(guān)系“?”．
對于①若

m1

?

m2

，則“x₁＜x₂“或“x₁=x₂且y₁＜y₂∈R”，|

m1

|=

x12+y12

，|

m2

|=

x22+y22

，
不一定有|

m1

|≤|

m2

|，故①不正確；
對于②，設(shè)向量

m1

=（x₁，y₁），

m2

=（x₂，y₂），

m3

=（x₃，y₃），若

m1

?

m2

，

m2

?

m3

，
則有“x₁＜x₂”或“x₁=x₂且y₁＜y₂”，“x₂＜x₃”或“x₂=x₃且y₂＜y₃”．
故有“x₁＜x₃”或“x₁=x₃且y₁＜y₃”．故有

m1

?

m3

，故②正確；
對于③，若

m1

?

m2

，則對于任意

m

，設(shè)

m

=（x，y），

m1

=（x₁，y₁），

m2

=（x₂，y₂），
由于“x₁＜x₂”或“x₁=x₂且y₁＜y₂”，則“x+x₁＜x+x₂”或“x+x₁=x+x₂且y+y₁＜y+y₂”，
即有（

m1

+

m

）?（

m2

+

m

）成立，故③正確；
對于④，對于實數(shù)λ≥0，設(shè)向量

m1

=（x₁，y₁），

m2

=（x₂，y₂），若

m1

?

m2

，
則有“x₁＜x₂”或“x₁=x₂且y₁＜y₂”，即有“λx₁≤λx₂”或“λx₁=λx₂且λy₁≤λy₂”，
則λ

m1

?λ

m2

不成立，故④不正確．
綜上正確的個數(shù)為2．
故選B．

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了新定義“?”，正確理解新定義“?”的實質(zhì)，是解答的關(guān)鍵，屬于中檔題．