Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=2f（x）-blnx+x在x∈[1，+∞）上存在零點，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,存在型,導數(shù)的綜合應用

分析：求導后可知單調(diào)區(qū)間；通過獨立參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題．

解答： 解：（1）f（x）=xlnx，f'（x）=lnx+1；
令f'（x）＞0，即：lnx+1＞0，
解得：x＞

1

e

，即f（x）在（

1

e

，+∞）上單調(diào)遞增；
令f'（x）＜0，即：lnx+1＜0
解得：0＜x＜

1

e

，即f（x）在（0，

1

e

）上單調(diào)遞減．
綜上所述，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是：（

1

e

，+∞），單調(diào)減區(qū)間是：（0，

1

e

）．
（2）∵函數(shù)g（x）=2f （x）-blnx+x在[1，+∞）上存在零點，
∴方程2xlnx-blnx+x=0在[1，+∞）上有實數(shù)解．
易知x=1不是方程的實數(shù)解，
∴方程2xlnx-blnx+x=0在（1，+∞）上有實數(shù)解，
即方程b=2x+

x

lnx

在（1，+∞）上有實數(shù)解．
設g（x）=2x+

x

lnx

（x＞1），
g′（x）=2+

lnx-1

(lnx)2

=

(2lnx-1)(lnx+1)

(lnx)2

，
∵x＞1，
∴l(xiāng)nx＞0，lnx+1＞0，
當2lnx-1＞0，即x＞

e

時，g′（x）＞0，
當2lnx-1＜0，即1＜x＜

e

時，g′（x）＜0，
∴g（x）在（1，

e

）上單調(diào)遞減，在（

e

，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）_min=4

e

，
∴實數(shù)b的取值范圍為[4

e

，+∞）．

點評：本題綜合考查了導數(shù)的應用，同時考查了函數(shù)與方程之間的關(guān)系及數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．