Question

已知定義域為R的函數f（x）=是奇函數．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）判斷函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用奇函數定義f（x）=-f（x）中的特殊值f（0）=0求b的值；
（Ⅱ）設x₁＜x₂然后確定f（x₁）-f（x₂）的符號，根據單調函數的定義得到函數f（x）的單調性；
（III）結合單調性和奇函數的性質把不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0轉化為關于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知識求出k的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）因為f（x）是奇函數，所以f（0）=0，
即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
設x₁＜x₂則f（x₁）-f（x₂）=-=
因為函數y=2^x在R上是增函數且x₁＜x₂∴f（x₁）-f（x₂）=＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上為減函數
（III）f（x）在（-∞，+∞）上為減函數，又因為f（x）是奇函數，
所以f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0
等價于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
因為f（x）為減函數，由上式可得：t²-2t＞k-2t²．
即對一切t∈R有：3t²-2t-k＞0，
從而判別式 ．
所以k的取值范圍是k＜-．
點評：本題主要考查函數奇偶性與單調性的綜合應用；同時考查一元二次不等式恒成立問題的解決策略，是一道綜合題．